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18. 확률변수의 기대값 (Expected Value) 확률변수의 통계량은 확률분포를 표현하기 위한 값들이며, 이 값들은 확률함수를 통해 계산할 수 있다. (1) 기대값 ( Expected Value) 확률변수에 대해 평균적으로 기대하는 값 = 모평균(population mean) ⇨ 확률분포(또는 모집단)의 무게 중심 하나의 확률 과정에 의해 결정되는 숫자는 하나의 값 주위로 분포한다. 이때 기대값(expected value)은 분포의 무게중심에 해당되는 값이다. ⇒ 기대값은 확률에서의 평균 ▶ 표본평균 일반식 2023.04.17 - [통계학 공부] - 7. 수치 자료의 중심 - 평균, 중앙값, 최빈값 7. 수치 자료의 중심 - 평균, 중앙값, 최빈값 일변량 자료 요약 (1) 수치형 - 평균,중앙값,최빈값, 분산, 표준편차, 범위, 분위수 등 (2) 범주형.. 2023. 4. 28.
17. 확률질량함수 & 확률밀도함수 표본공간에 있는 원소의 형태에 따라 확률변수의 형태가 다르게 나올 수 있다. 표본공간의 원소가 셀 수 있는 수치자료라면 즉 이산자료라면 확률변수도 셀 수 있게 나오고, 연속적인 실수형태라면 확률변수도 실수형태로 나타날 수 있다. ▶ 이산확률변수(discrete random variable) : 확률변수가 가질 수 있는 값들이 가산(countable) 또는 셀 수 있는 경우 예) 불량품의 개수, 사고 건수,... ▶ 연속확률변수(continuous random variable) : 가질 수 있는 값이 셀 수 없을 정도로 많은 경우 예) 신장, 체중, ... (1) 확률변수, 확률함수, 확률분포 확률변수: 특정 확률실험에서 발생 가능한 결과를 수치화하여 나타낸 변수를 의미한다. 즉, 확률실험에서 어떤 값을 .. 2023. 4. 27.
16. 확률변수와 확률분포 (1) 도대체 확률이란 무엇인가? 확률은 어떤 사건(event)이 일어날 가능성을 수학적으로 측정한 것이다. ▶ 고전적 확률(classical probability) 주사위 던지기와 동전 던지기와 같이 모든 결과가 나올 확률이 동일하다는 전제하에 특정 사건이 나올 확률을 계산한다. ▶ 나열 확률(enumerative probability) 모든 가능한 경우 를 생각하고 그 중 내가 관심이 있는 사건이 일어나는 비율을 생각한다. 예를 들면 검은색 공 3개와 빨간 공 2개가 들어 있는 상자에서 공을 하나 꺼낼 때 빨간 공이 나올 확률은 2/5이 다. ▶ 장기 빈도 확률(long-run frequency probability) 동일 한 사건이 반복적으로 일어날 때 발생하는 비율을 의미한다. 하지만 모든 사건이.. 2023. 4. 26.
15. 조건부 확률 - 베이즈 정리 II (1) 베이즈 정리 vs 고전적 확률 ▶ 확률의 기원 슈발리에 드 메레 ( Chevalier de Mere)의 질문에서 시작되었다고 한다. 1650년대 프랑스 작가 슈발리에 드 메레는 다음과 같은 도박 문제를 고심하고 있었다. 게임 1 : 최대 4번까지 공정한 주사위를 한 개 던지는데 6이 나오면 이긴다. 게임 2 : 최대 24번까지 공정한 주사위를 두 개 던지는데 둘 다 6이 나오면 이긴다. 어느 게임이 더 유리한 게임일까? 이 문제에 대한 해답을 구하기 위해 드 메레가 도움을 청한 사람은 파스칼이었고 파스칼은 그의 친구 페르마와 같이 확률론의 기반을 다지게 되었다. ☆ 게임 1 : 최대 4번까지 공정한 주사위를 한 개 던지는데 6이 나 오면 이긴다. 여사건의 법칙에 따라 게임1의 승률은 " 1 - (.. 2023. 4. 25.
14. 조건부 확률 - 베이즈 정리 (Bayes' theorem) (1) 베이즈 정리 (Bayes' theorem) 베이즈 정리는 두 확률 변수의 사전 확률과 사후 확률 사이의 관계를 나타내는 정리이다. 즉, 원인과 결과 형태의 문제에서 결과에 대한 원인 분석이 가능하게 하는 이론인 것이다. 베이즈 정리를 이해하기 위해서 필요한 기본 이론이 있다. (2) 확률의 기본정리 ▶ 공리적 확률( Probability Axioms) : 너무 당연해서 증명이 필요없는 확률 1933년 콜모고로프(A.N.Kolmogorov, 1903-1987) ① 표본 공간의 전체 확률은 1 이다. ② 사건 A의 확률 ( P(A) )이 0보다 크거나 같고 1보다 작거나 같다. 즉 사건 A는 표본공간의 부분집합이다. ③ 서로 배반인 사건들의 합집합의 확률은 각각의 확률의 합과 같다. ▶ 확률의 기본 .. 2023. 4. 24.
13. 확률 - 경우의 수 ▶ 확률실험(random experiment) : 불확실성을 내포하고 있는 상황에서 어떤 사건이 발생할 확률을 알아내기 위한 실험 ▶ 표본공간(sample space, Ω) : 확률실험에서 발생 가능한 모든 결과들의 집합 ▶ 사건(event) : 표본공간 내에서의 관심 부분집합 (1) 경우의 수(the number of cases) 확률을 계산하기 위해서는 표본공간과 사건에 있는 원소의 개수를 효율적으로 계산하는 것이 중요하다. 즉, 표본공간의 크기와 사건의 크기를 알아내는 것이 필요하다. 경우의 수를 구하는 기본 법칙은 곱의 법칙 (multiplication rule) 이다. 곱셈법칙은 한 실험에서 두 개 이상의 과정이 있을 때, 각 과정마다 선택 가능한 경우의 수를 곱하여 전체 경우의 수를 구하는 방.. 2023. 4. 23.

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