18. 확률변수의 기대값 (Expected Value)

확률변수의 통계량은 확률분포를 표현하기 위한 값들이며, 이 값들은 확률함수를 통해 계산할 수 있다.

 

(1) 기대값 ( Expected Value)

• 확률변수에 대해 평균적으로 기대하는 값 = 모평균(population mean) ⇨ 확률분포(또는 모집단)의 무게 중심
• 하나의 확률 과정에 의해 결정되는 숫자는 하나의 값 주위로 분포한다.
• 이때 기대값(expected value)은 분포의 무게중심에 해당되는 값이다. ⇒ 기대값은 확률에서의 평균

   ▶ 표본평균 일반식

2023.04.17 - [통계학 공부] - 7. 수치 자료의 중심 - 평균, 중앙값, 최빈값

7. 수치 자료의 중심 - 평균, 중앙값, 최빈값

 

  ◈ 예제 : {1,2,3,4,5,6}으로 이루어진 모집단으로부터 5개의 표본을 무작위로 선택 : 1,1,2,5,6

•    표본평균을 계산하면,

•    이 계산 산식을 각 관측된 값에 자료 중 그 값이 차지하는 비율을 곱하여 더한 것으로 표시하면,

•    이를 일반식으로 표현하면,

•     위의 식을 간략히 정리하면,

• 여기서 각 표본의 비율을 p로 표현하면,

▶ 기대값의 일반식

• 위에서 n이 계속 커지면,

• 기대값의 평균은 μ (뮤) 로 표기한다.

▶ 이산확률변수 X의 기대값

◈ 예제 : 동전 3개 던지기

• 동전을 3개 던지는 확률실험을 할 때, 표본공간은 총 8개 였다.
• 확률변수 X(앞면의 수) 의 값은 0, 1, 2, 3 으로 나타난다.
• 각 확률변수의 값에 대한 확률은 아래와 같이 나타난다.

•  확률질량함수로 표현하면,

•  X의 기대값은 ?

• 그림으로 표현하면,

▶ 연속확률변수 X의 기대값

 ◈ 예제 : 0~12까지의 숫자가 표시된 돌림판

• 그림과 같이 바늘이 지적하는 위치를 X 라 했을 때, X의 기대값은?

 

(2) 확률변수의 변환 (transformation)

 

• 확률변수의 변환은 어떤 함수를 통해서 또 다른 확률함수로 만드는 것이다.
• 이미 만들어진 확률변수 그 자체보다 변환을 해서 사용해야 하는 경우가 생길 수 있다.
• 변환된 확률변수도 여전히 확률변수 이다. 따라서, 기존의 확률변수의 성질을 그대로 가지고 있다.
• 그러므로 변환된 확률변수의 확률분포가 존재한다.

▶ 확률변수 X의 확률분포

x	-1	0	1	2
P(X=x)	0.1	0.3	0.2	0.4

확률 변수 X에 제곱을 하여 변환하고, 변환한 확률변수를 W라고 한다면,

이 때 W의 확률분포를 구하려면, 기존의 확률변수 값에 연결하면 된다. 그 결과는, 

x	-1	0	1	2
P(X=x)	0.1	0.3	0.2	0.4
w	1	0	1	4

• P(W=0) = 0.3
• P(W=1) = 0.1+0.2 = 0.3 ( x의 관점에서는 -1과 1 의 값을 더한 것이다. )
• P(W=4) = 0.4
•  변환된 확률 함수 W의 기대값

• 위의 식을 X의 관점에서 아래와 같이 표현할 수 있다.

• 이것을 일반식으로 표현하면,

• 즉, 변환전 x의 값인 -1,0,1,2를 넣으면 변형된 제곱의 값인 0,1,2의 확률에 대한 기대값으로 나온다.

 

▶ 일반화

• 확률변수 X의 함수 Y=g(X)의 기대값
• 이산확률변수

• 연속확률변수

(3) 기대값의 성질

 

 ▶ 임의의 상수 a의 기대값 : E(a)

▶ aX+b의 기대값 : E(aX+b)

▶ 임의의 함수 g1,g2에 대한 기대값

◈ 예제 : 동전 3개 던지기

• 동전을 3개 던지는 확률실험을 할 때, 표본공간은 총 8개 였다.
• 확률변수 X(앞면의 수) 의 값은 0, 1, 2, 3 으로 나타난다.
• 각 확률변수의 값에 대한 확률은 아래와 같이 나타난다.

• 기대값

• 변형된 함수의 기대값 : x^2

• 변형된 함수의 기대값 : ( x-1.5)^2